Green Function

格林函数是场论中点源产生的基本解，这篇文章简单写一下它的应用。

1 格林函数的引入

记 $L$ 为一般的微分算符，对于形如

L u (x^{σ}) = f (x^{σ}), x^{σ} \in R, σ = 0, 1, 2 \dots, n

的微分方程，可以写出其基本解方程为：

L G (x^{σ}, x^{' σ}) = δ^{n} (x^{σ} - x^{' σ})

从中得到的基本解一般称为格林函数，容易证明，

\begin{matrix} (1) & u (x^{σ}) = \int_{R^{n}} G (x^{σ}, x^{' σ}) f (x^{' σ}) d^{n} x^{'} \end{matrix}

为原方程的解。

2 实例

2.1 真空静电场

refer to: 陶鑫《电动力学》讲义

静电场满足的泊松方程

\nabla^{2} φ (x) = - \frac{ρ (x)}{ϵ_{0}}

对应的格林函数满足

\nabla^{2} G = δ^{3} (x - x^{'})

方便起见，记 $r \equiv x - x^{'} \equiv \bar{x} = (\underset{x - x^{'}}{\underset{⏟}{\bar{x}}}, \bar{y}, \bar{z})$ , $ρ = (α, β, γ)$ ，上式变为 $\nabla^{2} G (r) = δ^{3} (r)$ ，记，对上式做傅里叶变换(FT)，即

\begin{aligned} \tilde{G} (α, β, γ) & = ∭_{R^{3}} G (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) e^{- i (α \bar{x} + β \bar{y} + γ \bar{z})} d \bar{x} d \bar{y} d \bar{z} = ∭_{R^{3}} G (r) e^{- i ρ \cdot r} d^{3} r \\ G (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) & = \frac{1}{(2 π)^{3}} ∭_{R^{3}} \tilde{G} (r) e^{i (\bar{x} α + \bar{y} β + \bar{z} γ)} d α d β d γ = \frac{1}{(2 π)^{3}} ∭_{R^{3}} \tilde{G} (r) e^{i ρ \cdot r} d^{3} ρ \end{aligned}

正变换得到

- (α^{2} + β^{2} + γ^{2}) \tilde{G} = 1 \Rightarrow \tilde{G} = - \frac{1}{ρ^{2}}, ρ^{2} = α^{2} + β^{2} + γ^{2}

于是反变换( $R F T$ )并采取球坐标

θ = ⟨ ρ, r ⟩, α = ρ \sin θ \cos φ, β = ρ \sin θ \sin φ, γ = ρ \cos θ

得到：

\begin{aligned} G (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) & = - \frac{1}{(2 π)^{3}} ∭_{R^{3}} \frac{e^{i (ρ r \cos θ)}}{ρ^{2}} \cdot ρ^{2} \sin θ d ρ d θ d φ \\ = - \frac{1}{(2 π)^{2}} \int_{0}^{+ \infty} d ρ \int_{0}^{π} e^{i ρ r \cos θ} \sin θ d ρ d θ \\ = - \frac{1}{2 π^{2} r} \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin r ρ}{ρ} d ρ \\ = - \frac{1}{4 π r} \end{aligned}

于是根据式 (1) 得到势函数为

\begin{aligned} φ (x, y, z) & = - ∭_{R^{3}} \frac{ρ (x^{'})}{4 π ϵ_{0} | x - x^{'} |} d x^{'} d y^{'} d z^{'} \end{aligned}

正是熟悉的电磁势。

2.2 运动电荷的推迟势

refer to: 陶鑫《电动力学》讲义

本节采用国际单位制，以及(+---)闵可夫斯基度规

η^{μ ν} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1)

在选取洛伦茨规范时，从麦克斯韦方程组中可以得到非齐次波动方程(注意，选取 $(- + + +)$ 度规会在下列两个式子中多一个负号)：

◻^{2} φ = \frac{ρ}{ϵ_{0}}, ◻^{2} A = μ_{0} j

$◻^{2} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t} - \nabla^{2}$ 为达朗贝尔算符。第二个方程中 $A$ 的每个分量与 $φ$ 的波动方程没有什么形式上的区别，所以只需要讨论 $◻^{2} φ = \frac{ρ}{ϵ_{0}}$ 的解，该方程的格林函数满足：

(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t} - \nabla^{2}) G (x, t; x^{'}, t^{'}) = δ (t - t^{'}) δ^{3} (x - x^{'})

和 2.1 节一样，简记为

(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t} - \nabla^{2}) G (\bar{x}, \bar{t}) = δ (\bar{t}) δ^{3} (\bar{x})

做如下傅里叶变换：

\begin{aligned} \tilde{G} (k, ω) & = \int G (\bar{x}, t) e^{- i (k \cdot \bar{x} - ω t)} d^{3} x d t \\ G (\bar{x}, \bar{t}) & = \frac{1}{(2 π)^{4}} \int \tilde{G} (k, ω) e^{i (k \cdot \bar{x} - ω t)} d^{3} k d ω \end{aligned}

于是由 FT 得到：

\tilde{G} (k, ω) = \frac{1}{k^{2} - ω^{2} / c^{2}}

接下来做 RFT：

G (\bar{x}, \bar{t}) = \frac{1}{(2 π)^{4}} \int \frac{e^{i (k \cdot \bar{x} - ω \bar{t})}}{k^{2} - ω^{2} / c^{2}} d^{3} k d ω

为求解该积分，采用球坐标：

\begin{matrix} θ = ⟨ k, r ⟩, r \equiv \bar{x} \\ k_{x} = k \sin θ \cos φ, k_{y} = k \sin θ \sin φ, k_{z} = k \cos θ \\ d k_{x} d k_{y} d k_{z} = k^{2} \sin θ d k d θ d φ \end{matrix}

得到

\begin{aligned} G (\bar{x}, t) & = \frac{1}{(2 π)^{4}} \int_{0}^{+ \infty} d k \int_{R} \frac{k^{2}}{k^{2} - ω^{2} / c^{2}} e^{- i ω \bar{t}} d ω \int_{0}^{π} \sin θ e^{i k r \cos θ} d θ \int_{0}^{2 π} d φ \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{+ \infty} d k \int_{R} \frac{k^{2}}{k^{2} - ω^{2} / c^{2}} e^{- i ω \bar{t}} d ω \int_{0}^{π} \sin θ e^{i k r \cos θ} d θ \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{+ \infty} d k \int_{R} \frac{k^{2}}{k^{2} - ω^{2} / c^{2}} e^{- i ω \bar{t}} \cdot \frac{1}{i k r} (e^{i k r} - e^{- i k r}) d ω \\ = \frac{i c^{2}}{(2 π)^{3} r} \int_{0}^{+ \infty} k (e^{i k r} - e^{- i k r}) d k \int_{R} \frac{e^{- i ω \bar{t}}}{(ω + k c) (ω - k c)} d ω \\ = \frac{i c^{2}}{(2 π)^{3} r} \int_{0}^{+ \infty} k (e^{i k r} - e^{- i k r}) \cdot 2 π i (- \frac{e^{- i k c \bar{t}}}{2 k c} + \frac{e^{i k c \bar{t}}}{2 k c}) d k \\ = \frac{c}{8 π^{2} r} \int_{0}^{+ \infty} (e^{i k (r - c \bar{t})} + e^{- i k (r - c \bar{t})} - e^{i k (r + c \bar{t})} - e^{- i k (r + c \bar{t})}) d k \\ = \frac{c}{4 π r} [δ (r - c \bar{t}) + δ (r + c \bar{t})] \\ = \frac{1}{4 π r} [δ (\bar{t} - \frac{r}{c}) + δ (\bar{t} + \frac{r}{c})] \end{aligned}

对于 $t > 0, r > 0$ ，上式第二项恒为 0，得到

G (\bar{x}, \bar{t}) = \frac{1}{4 π r} δ (\bar{t} - \frac{r}{c})

记推迟时间 $t_{r} = t - \frac{r}{c} = \bar{t} - \frac{r}{c} + t^{'}$ ，该时间参数与 $t^{'}$ 无关，将有利于后面对 $t^{'}$ 的积分。于是上式改写为

G (x, t; x^{'}, t^{'}) = {\begin{aligned} 0, & t < t^{'} (\bar{t} < 0) \\ \frac{1}{4 π} \frac{δ (t^{'} - t_{r})}{| x - x^{'} |}, & t > t^{'} (\bar{t} > 0) \end{aligned}

于是根据式 (1) 得到势函数为

φ (x, t) = \int \frac{ρ (x^{'}, t)}{ϵ_{0}} \frac{1}{4 π} \frac{δ (t^{'} - t_{r})}{| x - x^{'} |} d^{3} x d t^{'}

得到含推迟时间的、与 2.1 节类似的势场

φ (x, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (x^{'}, t_{r})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

同理，矢势满足

A (x, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (x^{'}, t_{r})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

2.3 弱引力波

refer to: 赵文研课《广义相对论》讲义

与前面不同，采用自然单位制，以及(-+++)闵可夫斯基度规

η^{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)

弱场条件

g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}, | h_{μ ν} | ≪ 1

并且

{\bar{h}}_{μ ν} = h_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} h, h = η^{μ ν} h_{μ ν}

若采用谐和规范，弱引力场的引力波方程写作：

◻^{2} {\bar{h}}_{μ ν} = {\bar{h}}_{μ ν, α}^{, α} = - 16 π G T_{μ ν}

其中 $f_{, α}^{, α} = ◻^{2} f$ 为达朗贝尔算符，下标为逗号表示普通微商，推导完全类似于 2.3 节，得到引力波振幅也满足推迟势公式：

{\bar{h}}_{μ ν} (t, x) = 4 G \int \frac{T_{μ ν} (t_{r}, x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

2.4 Klein-Gordon 方程

refer to: Claude Itzykson & Jean-Bernard Zuber -《Quantum Field Theory》

本节采用单位制和度规与 2.3 节相同。

Klein-Gordon 方程用于描述自旋为 $0$ 的标量场，对于有源的 Klein-Gordon 方程：

(◻^{2} - m^{2}) ψ (x^{μ}) = ρ (x^{μ})

对应的格林函数满足

(\partial^{μ} \partial_{μ} - m^{2}) G = δ^{4} (x^{μ} - x^{' μ})

对上式做 FT： $\tilde{G} (p) = \int G (\bar{x}) e^{- i p_{μ} {\bar{x}}^{μ}} d^{4} \bar{x}, p_{μ} = (- ω, p)$ 得到：

(- p^{μ} p_{μ} - m^{2}) \tilde{G} = 1 \Rightarrow \tilde{G} (p, ω) = \frac{1}{ω^{2} - p^{2} - m^{2}}

再做反变换

G (\bar{x}, \bar{t}) = \frac{1}{(2 π)^{4}} \int \frac{e^{i (p \cdot \bar{x} - ω \bar{t})}}{ω^{2} - p^{2} - m^{2}} d^{3} p d ω

因为上述被积函数的奇点位于实轴，所以直接积分是发散的。常用的处理方式是费曼 $+ i ϵ$ 处方（即令 $m^{2} \to m^{2} - i ϵ$ ），它把积分变成：

G (\bar{x}, \bar{t}) = \frac{1}{(2 π)^{4}} \int \frac{e^{i (p \cdot \bar{x} - ω \bar{t})}}{ω^{2} - p^{2} - m^{2} + i ϵ} d^{3} p d ω

在上式中， $ϵ$ 为正的无穷小量，这使得奇点略微偏离实轴，并保证了后续参数化积分的收敛性。一个技巧是采用所谓的施温格参数化，

\frac{1}{A^{n}} = \frac{1}{Γ (n)} \int_{0}^{+ \infty} s^{n - 1} e^{- A s} d s

选取 $A = i (ω^{2} - p^{2} - m^{2} + i ϵ), n = 1$ 就得到，

\frac{1}{ω^{2} - p^{2} - m^{2} + i ϵ} = - i \int_{0}^{+ \infty} d s e^{i s (ω^{2} - p^{2} - m^{2} + i ϵ)}

于是格林函数变为：

\begin{aligned} G (\bar{x}, \bar{t}) & = - \frac{i}{(2 π)^{4}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- i m^{2} s - ϵ s} d s \int e^{i s (ω^{2} - p^{2}) + i (p \cdot \bar{x} - ω \bar{t})} d^{3} p d ω \\ = - i \int_{0}^{+ \infty} e^{- i m^{2} s - ϵ s} d s \int e^{i s {(ω - \frac{\bar{t}}{2 s})}^{2} - i \frac{{\bar{t}}^{2}}{4 s} - i s {(p - \frac{\bar{x}}{2 s})}^{2} + i \frac{{\bar{x}}^{2}}{4 s}} \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{d ω}{2 π} \\ = - i \int_{0}^{+ \infty} e^{- i m^{2} s - ϵ s} (\frac{- i}{16 π^{2} s^{2}}) e^{- i \frac{{\bar{t}}^{2} - {\bar{x}}^{2}}{4 s}} d s \\ = - \frac{1}{16 π^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- i (\frac{{\bar{t}}^{2} - {\bar{x}}^{2}}{4 s} + m^{2} s) - ϵ s} \frac{d s}{s^{2}} \end{aligned}

记固有时（在类时区间内 ${\bar{t}}^{2} > {\bar{x}}^{2}$ ）：

τ^{2} = {\bar{t}}^{2} - {\bar{x}}^{2}

积分变为：

\begin{aligned} G (\bar{x}, \bar{t}) & = - \frac{1}{16 π^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- i (\frac{τ^{2}}{4 s} + m^{2} s) - ϵ s} \frac{d s}{s^{2}} \end{aligned}

留意到这个积分和第二类修正贝塞尔函数的积分形式很类似，第二类修正贝塞尔函数是

\begin{aligned} K_{α} (2 \sqrt{p q}) & = \frac{1}{2} {(\frac{q}{p})}^{α / 2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- (p s + q / s)} s^{- α - 1} d s \end{aligned}

选取 $α = 1, p = i m^{2}, q = i \frac{τ^{2}}{4}$ ，得到

K_{1} (i m τ) = \frac{τ}{4 m} \int_{0}^{+ \infty} e^{- i (\frac{τ^{2}}{4 s} + m^{2} s) - ϵ s} \frac{d s}{s^{2}}

\Rightarrow G (\bar{x}, \bar{t}) = - \frac{m}{4 π^{2} τ} K_{1} (i m τ)

根据修正贝塞尔函数在虚轴上的解析延拓公式：

K_{1} (i z) = - \frac{π}{2} H_{1}^{(2)} (z) = - \frac{π}{2} [J_{1} (z) - i N_{1} (z)]

最后代入得到：

G (\bar{x}, \bar{t}) = \frac{m}{8 π τ} J_{1} (m τ) - i \frac{m}{8 π τ} N_{1} (m τ) = \frac{m}{8 π τ} H_{1}^{(2)} (m τ)

该解作为费曼传播子。最终的 $ψ (x)$ 依照相应积分式即可。

3 补充

3.1 通解和特解

以上使用格林函数所得到的都是非齐次方程组的特解，比如对于 2.2 节的推迟势，

◻^{2} φ = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

其解为齐次通解+非齐次特解：

φ = φ_{0} + φ_{1}

它们分别满足

◻^{2} φ_{1} = \frac{ρ}{ϵ_{0}}, ◻^{2} φ_{0} = 0

$φ_{0}$ 显然是真空电磁波解，但格林函数解并不能退化为该电磁波解。这是因为式 (1) 实际上忽略了边界项，相当于认为边界趋于 $\infty$ ，且 $lim_{r \to \infty} φ = 0$ ，该条件使得电磁波解不能存在。如果非要使用格林函数的解法还原 $φ_{0}$ ，则需要在(1)式中加入较为复杂的边界项。

3.2 Yukawa 势

在 2.4 节中，如果场是非时变、球对称、且无源的，则克莱因-戈登方程退化为亥姆霍兹方程，即

(\nabla^{2} - m^{2}) ψ (r) = 0

则 $ψ (r) = A \frac{e^{- m r}}{r}$ 为熟知的 Yukawa 势。